Matematyczne kształty natury

Współczesna genetyka zgadza się, że w nukleotydach zapisana jest informacja nie tylko o sposobie budowy białek, lecz również o ich wariantach ich budowy. Czym są nukleotydy, że potrafią przenieść tak bogatą informację?

 

Jak wiemy nukleotydy są prostymi związkami chemicznymi, zbudowanymi z zaledwie trzech pierwiastków: azotu, wodoru i tlenu. Dodatkowo grupa fosforowa ma zdolność łącznie się z węglem. Mimo że nukleotydy są tak proste, oprócz przenoszenia informacji, odgrywają znaczącą rolę w innych procesach organizmów: w metabolizmie i przekazywaniu sygnałów w komórce. Głównym składnikiem cząsteczki ATP, będącej nośnikiem i magazynem energetycznym, jest zasada purynowa adenina. To niebywałe, ale człowiek w ciągu doby wytwarza ich tyle, ile wynosi jego masa ciała! Również cząsteczki GTP, dostarczające między innymi energię do przeprowadzania procesów translacji i transkrypcji nici DNA, zbudowane są z zasad purynowych. Może więc nie ma mowy o przekazywaniu informacji i to sama podatność nukleotydów do łączenia się w inne struktury chemiczne jest wystarczająca do zbudowania organizmów?

Jestem przekonany, że w dużym stopniu tak. Lecz nie wyjaśni to wszystkich procesów zachodzących w nici DNA. Budowa strukturalna nukleotydów, ich podatność do łączenia się w rozbudowane związki chemicznych, może wyjaśnić zdolność do nanizania aminokwasów na łańcuch polipeptydowy, lecz w żadnej mierze nie wystarczy do warunkowego odczytywania informacji genetycznej. Z tego powodu uważam, że zrozumienia języka DNA należy szukać w oderwaniu od ich właściwości chemicznych. I tak, jak w pojedynczych dziurkach taśmy perforowanej taśmy pianoli nie odnajdziemy muzyki, tak w atomach nukleotydów nie znajdziemy cudu życia. Trzeba spojrzeć na kod DNA jak na język matematyki, a precyzyjnie mówiąc – język programów komputerowych.

 

Część z czytelników może zaprotestować: natura to nie matematyka, nie znajdziemy w niej skomplikowanych wzorów, funkcji, a nawet najprostszych operacji na liczbach. Otóż to nieprawda. Teza, że natura wykorzystuje funkcje matematyczne wydaje się absurdalna, a jednak tak jest! Oczywiście, natura nie zna tabliczki mnożenia, całek i liczb pierwszych, lecz jej działania można zapisać za pomocą matematyki. Powtarzając, z małą modyfikacją, słowa Galileusza, powiedziałbym, że „matematyka jest alfabetem, za pomocą którego natura opisuje wszechświat”.

Jasnym jest, że natura nie dokonuje obliczeń matematycznych. To my zauważyliśmy, że za działaniami wiązań atomowych kryje się schemat, możliwy do opisania za pomocą języka matematyki. Podobnie jest z kodem genetycznym. Postrzeganie go jako programu komputerowego wydaje się niemal obrazoburcze, lecz uważam, że jedynie matematyka jest w stanie objaśnić fenomen życia.

 

2.01. Matematyczne kształty natury

Chociaż natura nie zna matematyki, to buduje struktury, do których opisania trzeba użyć funkcji matematycznych. Odnajdziemy je w krajobrazach, zjawiskach atmosferycznych i w organizmach! W krajobrazie możemy je dostrzec w dużych strukturach jak kształt linii brzegowej, postrzępionych wierzchołkach gór czy obłokach na niebie, a w mikro skali w płatkach śniegu, kryształkach lodu, przeżerającej stal rdzy. W przyrodzie w rozwidlonych konarach drzew, jak również w ich najmniejszych elementach: liściach i kwiatach o różnorodnych kształtach. W naszych organizmach w naczyniach włoskowatych układu krwionośnego, płucach, nerkach, a nawet rytmach pracy serca. Te matematyczne funkcje ukryte w naturze to fraktale.

Dzięki wizualizacji równań matematycznych w umyśle Mandelbrota potrafimy podobne elementy – z pozoru chaotyczne, bezwładnie rozrzucone, zastrzeżone wcześniej jedynie dla natury – okiełzać we wzorach matematycznych, a nawet wygenerować jako komputerowe obrazy. Krzywa Kocha buduje struktury podobne do płatków śniegu. Funkcje paproci Barnsleya przypomina kształtem liście tej rośliny.

Według SJP fraktal to: „figura geometryczna o złożonej strukturze, nie będąca krzywą, powierzchnią ani bryłą w znaczeniu geometrii klasycznej, mająca wymiar ułamków”. Mówiąc językiem potocznym fraktal to postrzępiony kształt, który powielony w nieskończoność, wciąż zachowuje podobieństwo do najmniejszego elementu. Jak wspomniałem pierwszy opisał je Benoit Mandelbrot, matematyk urodzony w Polsce, a wychowany we Francji, który w latach pięćdziesiątych przeniósł się do USA. Tam, pracując dla IBM, zauważył, że wykres szumów, z którymi borykał się koncern w trakcie przesyłania informacji, był zawsze do siebie podobny, niezależnie od przyjętej jednostki czasu. Ta obserwacja doprowadziła go do wniosku, że geometria euklidesowa nie nadaje się do opisania natury, gdyż w przyrodzie nie ma linii prostych, jak również zbudowanych z nich figur: trójkątów, kwadratów, okręgów. To jedynie niedokładność obserwacji – uproszczenie na potrzeby zrozumienia – oraz wcześniejsza niemożliwość ich uchwycenia we wzorach, uogólniała ułamkowe formy w proste linie, które już dały się opisać. Mandelbrot zauważył, że „klasyczna (…) geometria nie potrafi opisać kształtu chmury, góry, linii brzegowej lub drzewa. Chmury nie mają kształtu kuli, góry nie mają kształtu stożka, linia brzegowa nie jest okręgiem, kora nie jest gładka, a błyskawica nie biegnie po prostej”. Oczywiście, nie zawsze jest wymagana dokładność geometrii fraktalnej. Projektant kreśli linię belki nośnej, a w czasie odlewania formy natura sama zadba, że linia nie będzie prostą euklidesową. Jednak w wielu przypadkach geometria fraktalna pomaga zrozumieć prawa natury.

Niektóre z funkcji budujących struktury fraktalne znane były już wcześniej, lecz wtedy nie wiedziano, że podobne zabawy matematyczne można odnaleźć w naturze, poczynając od nanoskali, a kończąc na galaktykach. Mandelbrot to zauważył i nazwał, a w okiełznaniu tej prawdy pomogły mu komputery, pozwalając na wizualizację wyników użytych funkcji. Bez komputerów wciąż mogłyby pozostać ciekawostką matematyczną.

Od chwili publikacji książek Fraktale: forma, prawdopodobieństwo i wymiar z 1978 roku oraz Fraktalna geometria przyrody z 1982 roku, fraktale wkroczyły do sztuki i nauki. Wzory geometrii fraktalnej wykorzystano do budowy krajobrazów w filmie Star Trek II: The Wrath of Khan. A w nauce choćby w: materiałoznawstwie – przewidywania „pęknięć”; radiokomunikacji – przy budowie anten telefonii komórkowej; w medycynie i biologii – ułatwiając diagnozowanie nowotworów i osteoporozy; a nawet w ekonomii – przy analizie danych finansowych.